如何用跳跃函数证明下列公式

我的回答仅供参考。因为这不是严格的广义函数论，所以只在《数学物理方法》课程中提到过。楼主如果不要求严格，应该可以做到如下，但是如果要求数学非常严谨，恐怕不行。

二维δ函数的定义应该是δ(x，y)=δ(x)δ(y)，而一维δ函数有一个重要性质δ(ax)=1/|a| δ(x)，可以用积分来证明。对于任何测试函数f(x)，

∫ (-∞到+∞)f(x)δ(ax)dx

T=ax替代变量，如果a >；0，积分的上下限保持不变，或者从负无穷大到正无穷大，变成

(1/a)∫(-∞到+∞)f(t/a)δ(t)dt；当a小于0时，有一个负号，因为此时它变成了对负无穷的正无穷积分。

即(-1/a)∫(-∞到+∞)f(t/a)δ(t)dt。综合a & gt0和a

∫ (-∞到+∞)f(x)δ(ax)dx =(1/| a |)∫(-∞到+∞)f(t/a)δ(t)dt

从δ(x) ∫ (-∞到+∞)f(x)δ(x)dx=f(0)的基本性质

∫ (-∞到+∞)f(x)δ(ax)dx =(1/| a |)∫(-∞到+∞) f (t/a) δ (t) dt = 1/| a |

反之，∫ (-∞到+∞)1/| a |δ(x)f(x)dx = 1/| a |∫(-∞到+∞) f (x) δ (x) dx = 65433。

所以∫ (-∞到+∞)f(x)δ(ax)dx=∫(-∞到+∞)1/|a| δ(x)f(x)dx，即方程δ (ax) = 1/。

两倍δ (ax，by)=δ(ax)δ(by)= 1/| AB |δ(x)δ(y)= 1/| AB |δ(x，y)。